∴∠CAQ=∠CPQ=60°,∠PBQ=∠PDQ=45°。
又∵PD是⊙O2的直径,∴∠PBD=90°。∴∠ABE=90°﹣∠PBQ=45°。
在△EAB中,∴∠E=180°﹣∠CAQ﹣∠ABE=75°。
答:∠E的度数是75°。
【考点】相交两圆的性质,相似三角形的判定和性质,锐角三角函数定义,特殊角的三角函数值,圆周角定理,三角形内角和定理。
【分析】(1)求出PC、PD,证△PAB∽△PCD,得出,从而。
(2)由cos∠CPQ=,求出∠CPQ=60°,同理求出∠PDQ=45°。由圆周角定理,得出
∠CAQ=∠CPQ=60°,∠PBQ=∠PDQ=45°,求出∠PBD=90°,求出∠ABE=45°根据三角形的内角和定理求出即可。
www.kuaixue5.com4.(2012四川广安9分)如图,在△ABC中,∠ABC=∠ACB,以AC为直径的⊙O分别交AB、BC于点M、N,点P在AB的延长线上,且∠CAB=2∠BCP.
(1)求证:直线CP是⊙O的切线.
(2)若BC=2,sin∠BCP=,求点B到AC的距离.
(3)在第(2)的条件下,求△ACP的周长.
【答案】解:(1)∵∠ABC=∠ACB且∠CAB=2∠BCP,在△ABC中,∠ABC+∠BAC+∠BCA=180°,
∴2∠BCP+2∠BCA=180°。
∴∠BCP+∠BCA=90°,即∠PCA=90°。
又∵AC是⊙O的直径,∴直线CP是⊙O的切线。
(2)如图,作BD⊥AC于点D,
∵PC⊥AC,∴BD∥PC。∴∠PCB=∠DBC。
∵C=2,sin∠BCP=
∴,解得:DC=2。
∴由勾股定理得:BD=4。∴点B到AC的距离为4。
(3)如图,连接AN,
在Rt△ACN中,,
又CD=2,∴AD=AC﹣CD=5﹣2=3。
∵BD∥CP,∴△ABD∽△ACP。
∴,即。∴。
在Rt△ACP中,。
∴△ACP的周长为。
【考点】切线的判定和性质,三角形内角和定理,等腰三角形的性质,勾股定理,相似三角形的判定和性质,锐角三角函数定义。
【分析】(1))根据∠ABC=∠AC且∠CAB=2∠BCP,在△ABC中∠ABC+∠BAC+∠BCA=180°,得到2∠BCP+2∠BCA=180°,从而得到∠BCP+∠BCA=90°,证得直线CP是⊙O的切线。
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