13.（2012四川泸州9分）如图，△ABC内接于⊙O，AB是⊙O的直径，C是的弧AD中点，弦CE⊥AB
于点H，连结AD，分别交CE、BC于点P、Q，连结BD。
(1)求证：P是线段AQ的中点；
(2)若⊙O的半径为5，AQ=
，求弦CE的长。
【答案】解：（1）证明：∵AB是⊙O的直径，弦CE⊥AB，∴
。
又∵C是弧
的中点，∴
。∴
。∴∠ACP=∠CAP。∴PA=PC。
∵AB是直径．∴∠ACB=90°。
∴∠PCQ=90°－∠ACP，∠CQP=90°－∠CAP。∴∠PCQ=∠CQP。∴PC=PQ。
∴PA=PQ，即P是AQ的中点。
（2）∵，∴∠CAQ=∠ABC。
又∵∠ACQ=∠BCQ，∴△CAQ∽△CBA。∴
。
又∵AQ=
，BA=10，∴
。
设AC=3k，BC=4k，则由勾股定理得，
，解得k=2。
∴AC=6，BC=8。
根据直角三角形的面积公式，得：AC•BC=AB•CH，∴6×8=10CH。∴CH=
。
又∵CH=HE，∴CE=2CH=
。
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