∴∠EDC=180°－75°－75°=30°。
∵BP∥DE，∴∠PBC=∠EDC=30°。
∴∠ABP=∠ABC－∠PBC=75°－30°=45°。
∵OB=OP，∴∠OBP=∠OPB=45°。∴∠BOP=90°。
（3）设OP交AC于点G，则∠AOG=∠BOP =90°。
在Rt△AOG中，∵∠OAG=30°，∴
。
又∵
，∴
。∴
。
又∵∠AGO=∠CGP，∴△AOG∽△CPG。
∴∠GPC=∠AOG=90°。∴CP是⊙
的切线。
【考点】圆周角定理，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，相似三角形的判定和性质，切线的判定。
【分析】（1）连接AD，由圆周角定理可知∠ADB=90°，再由AB=AC可知△ABC是等腰三角形，故BD=DC。
（2）由于AD是等腰三角形ABC底边上的中线，所以∠BAD=∠CAD，故
，从而可得出BD=DE，故BD=DE=DC，所以∠DEC=∠DCE，△ABC中由等腰三角形的性质可得出∠ABC=75°，故∠DEC=75°由三角形内角和定理得出∠EDC的度数，再根据BP∥DE可知∠PBC=∠EDC=30°，进而得出∠ABP的度数，再由OB=OP，可知∠OBP=∠OPB，由三角形内角和定理即可得出∠BOP=90°。
（3）设OP交AC于点G，由∠BOP=90°可知∠AOG=90°在Rt△AOG中，由∠OAG=30°，可知，由得，，由∠AGO=∠CGP可得出△AOG∽△CPG，由相似三角形形的性质可知∠GPC=∠AOG=90°，故可得出CP是⊙O的切线。
12.（2012四川自贡12分）如图AB是⊙O的直径，AP是⊙O的切线，A是切点，BP与⊙O交于点C．
（1）若AB=2，∠P=30°，求AP的长；
（2）若D为AP的中点，求证：直线CD是⊙O的切线．
【答案】解：（1）∵AB是⊙O的直径，AP是⊙O的切线，∴AB⊥AP。∴∠BAP=90°。
又∵AB=2，∠P=30°，∴AP=
。
（2）证明：如图，连接OC，OD．AC．
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=90°（直径所对的圆周角是直角）。
∴∠ACP=90°。
又∵D为AP的中点，∴AD=CD（直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半）。
在△OAD和△OCD中，∵OA=OC，OD=DD，AD=CD，∴△OAD≌△OCD（SSS）。
∴∠OAD=∠OCD（全等三角形的对应角相等）。
又∵AP是⊙O的切线，A是切点，∴AB⊥AP。∴∠OAD=90°。
∴∠OCD=90°，即直线CD是⊙O的切线。
【考点】切线的判定和性质，锐角三角函数定义，特殊角的三角函数值，圆周角定理，直角三角形斜边上中线的性质，全等三角形的判定和性质。
【分析】（1）首先根据切线的性质判定∠BAP=90°；然后在Rt△ABP中利用三角函数的定义求得AP的长度。
（2）连接OC，OD、AC构建全等三角形△OAD≌△OCD，然后利用全等三角形的对应角相等推知∠OAD=∠OCD=90°，即OC⊥CD。
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