（3）点D运动到弧BC中点时，△DBE∽△ADE。证明如下：
∵DE∥BC，∴∠EDB=∠DBC。
∵∠DBC所对的是弧
，∠EAD所对的是弧
，
且
，
∴∠DBC=∠EAD。∴∠EDB=∠EAD。
又∠DEB=∠AED，∴△DBE∽△ADE。
【考点】圆周角定理，平行线的性质，等腰三角形的判定，相似三角形的判定和性质。
【分析】（1）由DE∥BC，可得∠ABC=∠E；由∠ADB，∠C都是AB所对的圆周角，得∠ADB=∠C；又∠ABC=∠C，因此∠ADB=∠E。
（2）由∠ABC=∠C得AB=AC；由△ADB∽△AED得
；即AD2=AB•AE=AC•AE。
（3）点D运动到弧BC中点时，△DBE∽△ADE。由，得∠BAD=∠DBC；由DE∥BC，得∠EDB=∠DBC；又∠BDE=∠BAD，因此△DBE∽△ADE。
8. （江苏省苏州市2007年8分）如图，BC是⊙O的直径，点A在圆上，且AB=AC=4．P为AB上一
点，过P作PE⊥AB分别BC、OA于E、F
(1)设AP=1，求△OEF的面积．
(2)设AP=a (0＜a＜2)，△APF、△OEF的面积分别记为S1、S2。
①若S1=S2，求a的值；
②若S= S1+S2，是否存在一个实数a，使S＜
?若存在，求出一个a的值；若不存在，说明理由．
【答案】解：(1)∵BC是⊙O的直径，∴∠BAC=90°。
又∵ AB=AC，∴∠B=∠C=45°。
∵OA⊥BC，∴∠B=∠1=45°
。∵PE⊥ AB，∴∠2=∠1=45°。∴∠4=∠3=45°。
则△APF、△OEF与△OAB均为等腰直角三角形。
∵AP=l，AB=4，∴AF=
，OA=
。∴OE=OF=。
∴△OEF的面积为
。
(2)①∵PF=AP=a．∴AF=
．OE=OF=一。
∴
，
∵S1=S2 ，∴
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