，AE=4，求⊙O的半径和AC的长。
【答案】（1）证明：连接OD，
∵D是
的中点，∴∠BOD=∠A。
∴OD∥AC。
∵EF⊥AC，∴∠E=90°。∴∠ODF=90°。
∴EF是⊙O的切线；
（2）解：在△AEF中，∵∠E=90°，sin∠F=
，AE=4，
∴
。
设⊙O的半径为R，则OD=OA=OB=R，AB=2R．
在△ODF中，∵∠ODF=90°，sin∠F=，∴OF=3OD=3R。
∵OF+OA=AF，∴3R+R=12，∴R=3。
连接BC，则∠ACB=90°。
∵∠E=90°，∴BC∥EF。∴AC：AE=AB：AF。
∴AC：4=2R：4R，∴AC=2。
∴⊙O的半径为3，AC的长为2。
【考点】弧、圆周角和圆心角的关系，圆周角定理，平行的判定和性质，切线的判定，锐角三角函数定义，平行线分线段成比例定理。
【分析】（1）连接OD，根据圆周角定理，可得∠BOD=∠A，则OD∥AC，从而得出∠ODF=90°，即EF是⊙O的切线。
（2）先解直角△AEF，由sin∠F=，得出AF=3AE=12，再在Rt△ODF中，由sin∠F=，得出OF=3OD，设⊙O的半径为R，由AF=12列出关于R的方程，解方程即可求出⊙O的半径。连接BC，证明BC∥EF，根据平行线分线段成比例定理得出AC：AE=AB：AF，即可求出AC的长。
4.（2012贵州黔东南12分）如图，⊙O是△ABC的外接圆，圆心O在AB上，过点B作⊙O的切线交AC的延长线于点D．
（1）求证：△ABC∽△BDC．
（2）若AC=8，BC=6，求△BDC的面积．
5.（2012贵州黔南10分）已知，如图，点C在以AB为直径的⊙O上，点D在AB的的延长线上，∠BCD=∠A。
（1）求证：CD是⊙O的切线；
（2）过点C作CE⊥AB于E。若CE=2，
，求AD的长。
【答案】解：（1）证明：连接CO，
∵AB是⊙O直径，∴∠ACO+∠OCB=90°。
∵AO=CO，∴∠ACO =∠A。
∵∠BCD=∠A，∴∠BCD +∠OCB=90°，即∠OCD=90°。
∴OC⊥CD。
又∵OC是⊙O半径，∴CD为⊙O的切线。[来源:学_科_网]
（2）∵OC⊥CD于C，∴∠COD +∠D=90°。
∵CE⊥AB于E，∴∠COD +∠OCE=90°。∴∠OCE =∠D。
∴cos∠OCE =cosD。
在△OCE中，∠OEC=90°，∴cos∠OCE =
。
∵
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