，
当 
梯形ABCD的面积=
时，
∴=
，
整理方程得：﹣3x2+24x﹣70=0，△=576﹣840＜0
∴不存在这样的实数x．即不存在线段EF将等腰梯形ABCD的周长和面积．同时分成1：2的两部分．（2分）
第二种情况：显然是：S△BEF：SAFECD=2：1，（BE+BF）：（AF+AD+DC+CE）=2：1（1分），
梯形ABCD周长的三分之一为
=8，面积的三分之一为
．
因为BE=x，所以BF=（8﹣x）
∵FM∥AH，
∴△FBM∽△ABH，
∴BF：AB=FM：AH，
∴
，
∴FM=
，
∴△BEF的面积=，
当 
梯形ABCD的面积=
时，
∴
=
，
整理方程得：3x2﹣24x+140=0，△＜0
∴不存在这样的实数x．即不存在线段EF将等腰梯形ABCD的周长和面积．同时分成1：2的两部分．
点评：本题利用了等腰梯形的性质、垂直于同一直线的两直线平行，勾股定理，三角形、梯形面积公式，解一元二次方程，以及一元二次方程根的判别式等知识．
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