一、在复数集中解下列方程:
二、关于x的方程x2-(2i-1)x+3m-i=0(m∈R)有实根,求这个实根及实数m的取值范围。
三、关于x的方程x2+x+1=0的两个根为α,β,求α100+β100的值。
四、已知虚数α,β是实系数一元二次方程的两个根且,求。
在复数范围内解方程练习题参考答案:
一、1.可见为其一个根,所以其余三个根为, ,
。
2. 法一:令x=a+bi(a,b∈R),则由已知有,解之有
。 ∴根为0, i,-i。
法2:∵x2+|x|=0,∴x2=-|x|, ∴|x2|=|-|x||
即 |x2|=|x|,解之有|x|=0或|x|=1,
当|x|=0时,有x=0,
当|x|=1时,代入原方程有x2+1=0,∴x2=-1,
∴ x=i或x=-i。
3.∵, 其平方根,
∴ 由求根公式x=有此方程的两个根分别为-2, -3i。
4.根为-1±2i。
二、这是复系数方程,已不能用判别式确定有实根的条件,若用求根公式也很繁,所以用复数为零的充要条件来做,令x0为方程的实根,则
∵x0, m∈R, ∴ 解之有x0=-,m=。
三、由求根公式有x2+x+1=0的两根α=,β=,且可知:α3=1,β3=1,
由其有α3n=1,β3n=1(n∈N), ∴α100+β100=α99+1+β99+1=α+β=-1。
四、∵ ∴ ,
又,, ∴, 即, 即α3=β3,
∴ ,
∵ , ∴,又,
∴ ,解之有。
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