，故只要证得BK=AC即可证得结论。由△ABD≌△CMT可得AB=MC，由圆半径相等得AK=AM，从而AB＋AK=MC＋AM，即BK=AC。
10. （江苏省苏州市2011年8分）如图，已知AB是⊙O的弦，OB＝2，∠B＝30°，C是弦AB上的任意一点（不与点A、B重合），连接CO并延长CO交于⊙O于点D，连接AD．
(1)弦长AB等于 ▲ （结果保留根号）；
(2)当∠D＝20°时，求∠BOD的度数；
(3)当AC的长度为多少时，以A、C、D为顶点的三角形与以B、C、O为顶点的三角形相似？请写出解答过程．
【答案】解: (1)
。
（2）∵∠BOD是△BOC的外角，∠BCO是△ACD的外角，
∴∠BOD＝∠B＋∠BCO，∠BCO＝∠A＋∠D。∴∠BOD＝∠B＋∠A＋∠D。
又∵∠BOD和∠A分别是弧BD所对的圆心角和圆周角， ∴∠BOD＝2∠A。
又∵∠B＝30°，∠D＝20°，∴2∠A＝∠A＋30°＋20°，即∠A＝50°。
∴∠BOD＝2∠A＝100°。
（3）∵∠BCO＝∠A＋∠D，∴∠BCO＞∠A，∠BCO＞∠D。
∴要使△DAC∽△BOC，只能∠DCA＝∠BCO＝90°。
此时∠BOC＝60°，∠BOD＝120°，∴∠DAC＝60°。
∴△DAC∽△BOC。
∵∠BCO＝90°，即OC⊥AB，∴AC＝AB＝
。
∴当AC＝时，以A、C、D为顶点的三角形与以B、C、O为顶点的三角形相似。
【考点】弦径定理， 直角三角函数， 圆周角定理， 三角形外角定理，相似三角形的判定。
【分析】(1) 由OB＝2，∠B＝30°知
。
(2) 由∠BOD是圆心角，它是圆周角A的两倍， 而
得求。
(3)要求AC的长度为多少时，△DAC∽△BOC，只能∠DCA＝∠BCO＝90°，据此可求。
11. （2012江苏苏州8分）如图，已知半径为2的⊙O与直线l相切于点A，点P是直径AB左侧半圆上
的动点，过点P作直线l的垂线，垂足为C，PC与⊙O交于点D，连接PA、PB，设PC的长为
.
⑴当
时，求弦PA、PB的长度；
⑵当x为何值时，
的值最大？最大值是多少？
【答案】解：（1）∵⊙O与直线l相切于点A，AB为⊙O的直径，∴AB⊥l。
又∵PC⊥l，∴AB∥PC.
∴∠CPA=∠PAB。
∵AB为⊙O的直径，∴∠APB=90°。
∴∠PCA=∠APB.∴△PCA∽△APB。
∴
，即PA2=PC·PD。
∵PC=
，AB=4，∴
。
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