一、圆的定义：
1）在一个平面内，线段oa绕着固定的一个端点o旋转一周，另一个端点a所形成的图形叫做圆。
2）圆可以看作是到定点的距离等于定长的点的集合。
二、垂径定理及推论：（由圆的轴对称性得出的）
1）定理：垂直于弦的直径平分弦，且平分弦所对的优、劣弧。（常见辅助线，过圆心作弦的垂线）
2）推论：平分（非直径的）弦的直径垂直于弦，且平分弦所对的两条弧。
[总结为：一条直线满足：1）过圆心，2）垂直于弦，3）平分弦，4）平分弦所对的优弧，5）平分弦所对的劣弧，中的任意两点，则其他三点也成立。（注：①1）与3）结合使用时，弦为非直径弦。②2）与3）结合可找圆心，即两条弦的垂直平分线的交点。③利用垂径定理及勾股定理对于（圆半径r、弦长a、弦心距d、弓开的高h中任意已知两个量可求得另两个量]
三、圆心角、弧、弦间（弦的弦心距）的关系：（由圆的旋转不变性得出的）
在同圆或等圆中，两个圆心角、两条弧、两条弦（及两条弦的弦心距）四组量中有一组量相等，其余三组量也分别对应相等。(10弧：10的圆心角所对的弧为10的弧。)
四、圆周角：
1、定义：顶点在圆上，角的两边都与圆相交的角。（两条件缺一不可）
2、定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半。
3、推论：1）在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等。
2）直径（半圆）所对的圆周角是直角；900的圆周角所对的弦为直径。（①常见辅助线：有直径可构成直角，有900圆周角可构成直径；②找圆心的方法：作两个900圆周角所对两弦交点）
4、圆内接四边形的性质定理：圆内接四边形的对角互补。（任意一个外角等于它的内对角）
补充：1、两条平行弦所夹的弧相等。
2、圆的两条弦1）在圆外相交时，所夹角等于它所对的两条弧度数差的一半。2）在圆内相交时，所夹的角等于它所夹两条弧度数和的一半。
3、同弧所对的（在弧的同侧）圆内部角最大其次是圆周角，最小的是圆外角。
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