解析几何与导数相综合的应用

解析几何与导数相综合
近几年的新课程卷也十分注意与导数的综合，如近几年年的天津文科试题、的湖南文理科试题，都分别与向量综合．
例10（湖南文理科试题）过抛物线x²=4y的对称轴上任一点P（0,m）(m>0)作直线与抛物线交于A,B两点，点Q是点P关于原点的对称点。
（I）设点P分有向线段 所成的比为 ，证明:  
（II）设直线AB的方程是x-2y+12=0，过A,B两点的圆C与抛物线在点A处有共同的切线，求圆C的方程.
    解：（Ⅰ）依题意，可设直线AB的方程为 代入抛物线方程 得      ①
设A、B两点的坐标分别是 、 、x₂是方程①的两根.
所以     
由点P（0，m）分有向线段 所成的比为 ，得
又点Q是点P关于原点的对称点，故点Q的坐标是（0，－m），从而 .


               
               
所以 
（Ⅱ）由 得点A、B的坐标分别是（6，9）、（－4，4）.
由   得 所以抛物线 在点A处切线的斜率为
设圆C的方程是 则
解之得
所以圆C的方程是   即 

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