例1．求下列函数的导数
①y=(2x-3)5 ② ③ ④y=sin32x
解析：① 设u=2x-3，则y=(2x-3)5分解为y=u5，u=2x-3
由复合函数的求导法则得：
y'=f'(u)u'(x)=(u5)'(2x-3)'=5u4·2=10u4＝10(2x-3)4
② 设u=3-x，则可分解为，
。
③
④ y'=3(sin2x)2·(sin2x)'=3sin22xcos2x(2x)'=6·sin22x·cos2x
例2．已知使函数的导数为0的x值也使y值为0，求常数a。
解析：y'=3x2+2ax，令y'=0，得x=0或，
由题设x=0时，y'=y=0，此时，∴a=0；当时也解出a=0。
例3．设，求f'(x)。
解析：当x>0时，，当x<0时，，
由于x=0是该函数的分界点，由导数定义知
由于f'+(0)=f'-(0)=1，故有f'(0)=1于是：，
即：。
例4．已知曲线C：y=3x4-2x3-9x2+4。
① 求曲线C上横坐标为1的点的切线方程；
② 第①小题中切线与曲线C是否还有其它公共点。
解析：①把x=1代入C的方程，求得y=-4，∴ 切点为(1,-4)，y'=12x3-6x2-18x
∴ 切线斜率为k=12-6-18=-12，∴ 切线方程为y=-12x+8。
②由
得3x4-2x3-9x2+12x-4=0，即(x-1)2(x+2)(3x-2)=0，。
公共点为(1,-4)（切点），，除切点外，还有两个交点。
评析：举例说明曲线与直线相切并不说明只有一个公共点，当曲线是二次曲线时，我们知道直线与曲线相切，有且只有一个公共点，这种观点对一般曲线不一定正确。
例5．已知曲线，问曲线上哪一点处切线与直线y=-2x+3垂直，并写出这一点切线方程。
解析：，令，即，
得x=4，代入，得y=5，
∴曲线在点(4,5)处的切线与直线y=-2x+3垂直，切线方程为，即x-2y+6=0。
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