高二数学棱柱与棱锥导学案
一、对几种棱柱的理解
1.斜棱柱的底面可以是正多边形，此时侧棱不垂直于底面，所以它不是直棱柱.
2.直棱柱的底面可以是正多边形，所以正棱柱是直棱柱的特例.
3.在斜棱柱的侧面中，有的可以是矩形，如果棱柱有两个相邻的侧面都是矩形，那么它们的公共侧棱垂直于底面.此棱柱一定为直棱柱.
二、对于四棱柱中关系的理解
三、参考例题
[例1]在直平行六面体ABCD—A1B1C1D1中，AD=3，A1A=4，AB=5，∠DAB=60°，那么这个直平行六面体的对角线AC1与BD1的长分别是
分析：将“空间问题平面化”的思想应用到解题中，再结合平面几何中的勾股定理、余弦定理使问题获解.
解析：∵AD=3，AB=5，∠DAB=60°，
由余弦定理得BD2=AB2+AD2-2AB•ADcos60°.
∴BD= .
而BD12=AA12+BD2，
∴BD1= .同理可求得AC1= .
答案：A
[例2]用一个过四棱柱底面一边的平面截正四棱柱，截面是
A.正方形 B.矩形
C.菱形 D.一般平行四边形
分析：充分利用已知正四棱柱的性质以及线线、线面、面面之间的平行、垂直关系的性质、判定定理.
解析：正四棱柱ABCD—A1B1C1D1，过棱AB的平面ABEF交对面CDD1C1于点E、F.
∵平面ABB1A1∥平面CDD1C1，
∴AB∥EF.
∵AB⊥平面BCC1B1，且BE 平面BC1，
∴AB⊥BE.
∴ ABEF是矩形.
答案：B
评述：灵活地将正四棱柱性质应用于解题中，可使问题变得简单易求.
www.kuaixue5.com[例3]四棱柱ABCD—A′B′C′D′的底面ABCD是菱形，且A′B=A′D，求证：
(1)对角面AA′C′C⊥截面A′BD;
(2)对角面D′DBB′是矩形.
分析：(1)中通过寻求线面垂直去实现面面垂直.
(2)中依据矩形的判定方法证得.
证明：(1)连结AC与BD交于点O，连结A′O.
∵A′B=A′D，∴A′O⊥BD.
∵底面ABCD是菱形，
∴AC⊥BD.∴BD⊥平面A′ACC′.
又BD 平面A′DB，
∴对角面AA′C′C⊥截面A′BD.
(2)由(1)知BD⊥A′A且A′A∥BB′，
∴BD⊥BB′.
∴对角面D′DBB′是矩形.
评述：此题是以正棱柱为载体考查了空间线线、面面、线面等问题，需对四棱柱的有关性质熟练掌握，否则思维受阻，无法继续做下去.
四、参考练习题
在长方体AC1中，CC1=15，CD=20，求线段B1D和BC之间的距离.
解：连结AB1、DC1，
∴BC∥平面AB1C1D.
∴BC与B1D之间的距离转化成了BC与平面AB1C1D之间的距离.
又∵平面BB1A⊥平面AB1C1D，
过点B作BH⊥AB1于点H，
∴BH⊥平面AB1C1D.
∴BH的长为所求距离.
∵在Rt△AB1B中，有
BH= =12，
∴B1D和BC间的距离为12.
注意：在多面体中，利用线线关系、线面关系，把空间问题转化为平面问题，最终化为解三角形问题，是立体几何中的常用技巧.
www.kuaixue5.com[例1]下图是正方体的一个展开图，当用它合成原来的正方体时，与边P重合的边是哪一条?
分析：此题可先将正方体合成，问题很快得到解决，若只考虑边的重合，会更快地得出结论.
解：首先有L和K重合，其次有I和J重合，则P与H重合.
[例2]如图，在正方形SG1G2G3中，E、F分别是G1G2及G2G3的中点，D是EF的中点，现在沿SE、SF及EF把这个正方形折成一个由四个三角形围成的几何体(以后要学习的四面体)，使G1、G2、G3三点重合，重合后的点记为G，那么在这个几何体中必有
A.SG⊥△EFG所在平面
B.SD⊥△EFG所在平面
C.GF⊥△SEF所在平面
D.GD⊥△SEF所在平面
分析：题目中的SG1⊥G1E，EG2⊥G2F，FG3⊥G3S，这些条件在折叠后仍然不变，应从这一点入手解决此问题.
解析：∵SG1G2G3是一个正方形，
∴SG1⊥G1E，EG2⊥G2F，FG3⊥G3S.
∴折叠后的几何体中一定有
SG⊥GE，且SG⊥GF，即SG⊥△EFG所在平面.
答案：A
评述：这道题貌似涉及几何体(四面体)的概念，实则主要用来巩固直线和平面垂直的判定定理，培养学生的空间想象力.
二、平行六面体性质的应用举例
[例3]已知直平行六面体的侧棱长为100 cm，底面两邻边的长分别是23 cm和11 cm，底面的两条对角线的比是2∶3，求它的两个对角面的面积分别是多少?
分析：直平行六面体的对角面是矩形，本题关键是求出底面两条对角线的长，可应用方程思想解之.
解：已知AC1是直平行六面体，故它的两个对角面都是矩形，其侧棱AA1就是矩形的高.
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