求反函数的的例题

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例1．已知f(x)=(0≤x≤4), 求f(x)的反函数.
　　分析：这里要先求f(x)的范围（值域）.
　　解：∵0≤x≤4,

　　∴0≤x²≤16, 9≤25-x²≤25,　∴ 3≤y≤5,
　　∵ y=, y²=25-x²,　∴ x²=25-y².

　　∵ 0≤x≤4,　∴x=(3≤y≤5)
　　将x, y互换，∴ f(x)的反函数f^-1(x)=(3≤x≤5).
　　例2．已知f(x)=(x≥3), 求f^-1(5).
　　分析：这里应充分理解和运用反函数的自变量就是原函数的函数值，所求的反函数的函数值就是原函数的自变量这一事实，转化成方程问题.
　　解：设f^-1(5)=x₀, 则 f(x₀)=5,即 =5 (x₀≥3)

　　∴ x₀²+1=5x₀-5, x₀²-5x₀+6=0.
　　解得：x₀=3或x₀=2(舍）∴ f^-1(5)=3.
　　例3．已知f(x)=的反函数为f^-1(x)=,求a,b,c的值.
　　分析：注意二者互为反函数，也就是说已知函数f^-1(x)=的反函数就是含字母的反函数f(x).
　　解：求f^-1(x)=的反函数，令f^-1(x)=y有yx-3y=2x+5.

　　∴ (y-2)x=3y+5
　　∴ x=(y≠2),f^-1(x)的反函数为 y=.即 =，

　　∴ a=3, b=5, c=-2.
　　例4．已知.f(x+1)=x²-3x+2, x∈(-∞,),求.f^-1(x).
　　分析：本题是求函数解析式与求反函数两类问题的稼接，因此可套用相应方法分别处理.
　　解：(1)求f(x)解析式（用换元法）令t=x+1, ∴t<, x=t-1,
　　∴ f(t)=(t-1)²-3(t-1)+2=t²-5t+6, t∈(-∞,).

　　即y=f(x)=x²-5x+6, x∈(-∞,).
　　这是f(x)的单调区间，存在反函数.
　　(2)求反函数易知 y∈(-,+∞).y=(x-)²-, (x-)²=y+,
　　∵ x<, x-<0,

　　∴ x-=-(y>-).

　　∴ x=-(y>-).
　　∴ f^-1(x)=-(x>-).
　　例5．设点（4，1）既在f(x)=ax²+b (a<0,x>0)的图象上，又在它的反函数图象上，求f(x)解析式.
　　分析：由前面总结的性质我们知道.点（4，1）在反函数的图象上，则点（1，4）必在原函数的图象上.这样就有了两个用来确定a,b的点，也就有了两个求解a,b的方程.
　　解：　　解得.a=-, b=,　∴ f(x)=-x+.
　　另这个题告诉我们.函数的图象若与其反函数的图象相交，交点不一定都在直线y=x上.这一点好些同学弄不清楚.
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