直线与抛物线的位置关系

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直线与抛物线的位置关系
例1  焦点在y轴上的抛物线被直线x—2y—1=0截得的弦长为 ，求这抛物线的标准方程.
分析  焦点是在y轴正半轴上还是在y轴负半轴上？本题没有指明，应当有两种情况，可以分两种情况来解，但我们可以统一地设抛物线方程x²=ay(a≠0).
解  设抛物线方程为:x²=ay(a≠0)，由方程组 消去y得：2x²—ax+a=0，∵直线与抛物线有两个交点.∴Δ=(—a)²—4×2×a＞0，即a＜0或a＞8
设两交点坐标为A（x₁,y₁）、B(x₂,y₂),则x₁+x₂= ,x₁·x₂= ，
∴|AB|= ，∵|AB|= ，∴ = ，即a²—8a—48=0，解得a=—4或a=12．∴所求抛物线标准方程为：x²=—4y或x²=12y
评析  此类问题将直线和抛物线方程联立整理为关于x或y的二次方程，结合韦达定理求解．
备选题
例2  A、B是抛物线 （p>0）上的两点，满足 ，
（1）求证：A，B两点的横坐标之积，纵坐标之积分别为定值；（2）求证：直线AB过定点．
（3）求AB中点Ｍ的轨迹方程．
分析  依题意可设出A、B的两点坐标，然后根据条件 求之．
解 （1）设A ，B ，由 得： · +y₁·y₂=0；即y₁·y₂=－4p²，从而x₁·x₂=
（2）由两点式方程可得AB的方程为：(y₁+y₂)y=2px+y₁·y_2；即(y₁+y₂)y=2px－4p^2，令y=0,得x=2p；即直线AB过定点E(2p,0)
（3）设AB的中点为M(x,y)，则 ；
消去 ，得AB中点Ｍ的轨迹方程： 　　（x≥2p）
评析  此题的方法很多，上面给出的解法不失为一种最为基础的好方法，其它的方法请同学们自己尝试．
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