有关平均不等式的证明例题

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平均不等式的证明方法

　　对于几个正数的平均不等式证明并不要求，常见的是对于2个或3个正数的结论：
　　，（a，b，c>0，当且仅当a=b=c时等号成立）

　　例1．a，b，c是不全相等的正数，求证：a(b²+c²)+b(c²+a²)+c(a²+b²)>6abc。

　　证法1：由b²+c²≥2bc，a>0，得 a(b²+c²)≥2abc，同理b(c²+a²)≥2abc，c(a²+b²)≥2abc

　　∵ a，b，c不全相等，∴ 上述三个等号不同时成立，三式相加，有a(b²+c²)+b(c²+a²)+c(a²+b²)>6abc。

　　证法2：∵ a，b，c是不全相等的正数，

　　∴ a(b²+c²)，b(c²+a²)，c(a²+b²)均为正数，由三个数的平均不等式得；

　　∴ a(b²+c²)+b(c²+a²)+ c(a²+b²)
　　
　　∴ 不等式成立。

　　例2．求证lg9·lg11<1。

　　证明：∵ lg9>0，lg11>0，∴ ，
　　∴ ，∴lg9·lg11<1。

　　例3．若a>b>0，求证：。

　　分析：不等号左边是一个各项皆正的“和的形式”，但左侧是两项而右侧都出现了特征数“3”。因此启发我们将左侧拆成3项的和利用平均值定理。

　　证明：，∵ a>b>0，∴ a-b>0，b>0，，
　　∴ ，
　　∴ 原不等式成立，且，即a=2，b=1的等号成立。

　　例4．x，y，z∈R⁺，求证:

　　证明：∵ x，y，z∈R⁺，∴ ，
　　同理 ，∴ ，

　　∴原式成立。


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