点、直线、平面之间的位置关系单元测试及答案

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　　(3)求几何体ADEBC的体积V.

　　[分析](1)转化为证明GF平行于平面ABC内的直线AC；(2)转化为证明AC垂直于平面EBC内的两条相交直线BC和BE；(3)几何体ADEBC是四棱锥C－ABED.

　　22．(12分)如下图所示，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AC＝3，BC＝4，AB＝5，AA1＝4，点D是AB的中点．
　　
　　(1)求证：AC⊥BC1；
　　
　　(2)求证：AC1∥平面CDB1；

　　(3)求异面直线AC1与B1C所成角的余弦值．

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　　参考答案

　　1[答案]D

　　2[答案]C

　　[解析]AB与CC1为异面直线，故棱中不存在同时与两者平行的直线，因此只有两类：
　　
　　第一类与AB平行与CC1相交的有：CD、C1D1

　　与CC1平行且与AB相交的有：BB1、AA1，

　　第二类与两者都相交的只有BC，故共有5条．

　　3[答案]C

　　[解析]1°直线l与平面α斜交时，在平面α内不存在与l平行的直线，∴A错；

　　2°l⊂α时，在α内不存在直线与l异面，∴D错；

　　3°l∥α时，在α内不存在直线与l相交．

　　无论哪种情形在平面α内都有无数条直线与l垂直．

　　4[答案]D

　　[解析]由于AD∥A1D1，则∠BAD是异面直线AB，A1D1所成的角，很明显∠BAD＝90°.

　　5[答案]B

　　[解析]对于选项A，当a与b是异面直线时，A错误；对于选项B，若a，b不相交，则a与b平行或异面，都存在α，使a⊂α，b∥α，B正确；对于选项C，a⊥α，b⊥α，一定有a∥b，C错误；对于选项D，a⊂α，b⊥α，一定有a⊥b，D错误．
　　
　　6[答案]D

　　[解析]异面、相交关系在空间中不能传递，故①②错；根据等角定理，可知③正确；对于④，在平面内，a∥c，而在空间中，a与c可以平行，可以相交，也可以异面，故④错误．

　　7[答案]D

　　[解析]如图所示．由于AA1⊥平面A1B1C1D1，EF⊂平面A1B1C1D1，则EF⊥AA1，所以①正确；当E，F分别是线段A1B1，B1C1的中点时，EF∥A1C1，又AC∥A1C1，则EF∥AC，所以③不正确；当E，F分别不是线段A1B1，B1C1的中点时，EF与AC异面，所以②不正确；由于平面A1B1C1D1∥平面ABCD，EF⊂平面A1B1C1D1，所以EF∥平面ABCD，所以④正确．
　　
　　8[答案]D

　　[解析]选项A中，a，b还可能相交或异面，所以A是假命题；选项B中，a，b还可能相交或异面，所以B是假命题；选项C中，α，β还可能相交，所以C是假命题；选项D中，由于a⊥α，α⊥β，则a∥β或a⊂β，则β内存在直线l∥a，又b⊥β，则b⊥l，所以a⊥b.

　　9[答案]C

　　[解析]如图所示：
　　
　　AB∥l∥m；AC⊥l，m∥l⇒AC⊥m；AB∥l⇒AB∥β.

　　10[答案]35命题意图]本试题考查了正方体中异面直线的所成角的求解的运用．

　　[解析]首先根据已知条件，连接DF，然后则角DFD1即为

　　异面直线所成的角，设边长为2，则可以求解得到

　　5＝DF＝D1F，DD1＝2，结合余弦定理得到结论．

　　11[答案]C

　　[解析]取BC中点E，连AE、DE，可证BC⊥AE，BC⊥DE，∴∠AED为二面角A－BC－D的平面角

　　又AE＝ED＝2，AD＝2，∴∠AED＝90°，故选C.

　　12[答案]B

　　[解析]将其还原成正方体ABCD－PQRS，显见PB∥SC，△ACS为正三角形，∴∠ACS＝60°.
　　
　　13[答案]α∩β＝AB

　　14[答案]45°

　　[解析]如图所示，正方体ABCD－A1B1C1D1中，由于BC⊥AB，BC1⊥AB，则∠C1BC是二面角C1－AB－C的平面角．又△BCC1是等腰直角三角形，则∠C1BC＝45°.

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　　15[答案]9

　　[解析]如下图所示，连接AC，BD，
　　
　　则直线AB，CD确定一个平面ACBD.

　　∵α∥β，∴AC∥BD，

　　则ASSB＝CSSD，∴86＝12SD，解得SD＝9.

　　16[答案]①②④

　　[解析]如图所示，①取BD中点，E连接AE，CE，则BD⊥AE，BD⊥CE，而AE∩CE＝E，∴BD⊥平面AEC，AC⊂平面AEC，故AC⊥BD，故①正确．
　　
　　②设正方形的边长为a，则AE＝CE＝22a.

　　由①知∠AEC＝90°是直二面角A－BD－C的平面角，且∠AEC＝90°，∴AC＝a，

　　∴△ACD是等边三角形，故②正确．

　　③由题意及①知，AE⊥平面BCD，故∠ABE是AB与平面BCD所成的角，而∠ABE＝45°，所以③不正确．

　　④分别取BC，AC的中点为M，N，

　　连接ME，NE，MN.

　　则MN∥AB，且MN＝12AB＝12a，

　　ME∥CD，且ME＝12CD＝12a，

　　∴∠EMN是异面直线AB，CD所成的角．

　　在Rt△AEC中，AE＝CE＝22a，AC＝a，

　　∴NE＝12AC＝12a.∴△MEN是正三角形，∴∠EMN＝60°，故④正确．

　　17[证明](1)在正三棱柱ABC－A1B1C1中，

　　∵F、F1分别是AC、A1C1的中点，

　　∴B1F1∥BF，AF1∥C1F.

　　又∵B1F1∩AF1＝F1，C1F∩BF＝F，

　　∴平面AB1F1∥平面C1BF.

　　(2)在三棱柱ABC－A1B1C1中，AA1⊥平面A1B1C1，∴B1F1⊥AA1.

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